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苏州数学课外辅导 | 逆向思维巧解题

时间:2020-10-16 09:03:53 来源:

六年级2班同学在拍毕业照,同学们都面带笑容看着镜头准备,但是当摄影师按下快门的那一刹那,有些同学由于眼睛疲劳,不由自主地眨眼睛,拍了好几次每次都有同学的眼睛是闭着的。这可怎么办呢?这时小明想到了一个好主意,他让同学们先闭上眼睛,等摄影师喊一、二、三后再一起睁开眼睛。结果发现,照出来的照片效果非常好,大家神采奕奕,而且没有一个人的眼睛是闭着的!小明让大家从睁眼等待到闭眼等待,就是逆向思维。
逆向思维是由著名哲学家德博洛提出的,专门从相反方向、对立的角度去思考问题的一种方式。这种思维方式在解数学题时也很有益处。当一些问题直接从正面解答不是很顺利时,改变思维的方向,可以从结论入手或从条件及结论的反面进行思考。
 
例 1
 
某区举行小学生篮球比赛,共有16个学校参加,采用淘汰赛,每两个学校为一组赛一场,失败者被淘汰,获胜者进入下一轮,如此进行下去,直到决出冠军队为止。一共要赛多少场?
 
例 1
 
从正向思维,我们会这样思考:
16个学校参加淘汰赛,两校一组,共8组,要赛8场。之后8校胜出,再两两组成4对,又赛4场。胜出的4个学校组成2对,赛2场。最后两个学校赛1场决出冠军。这样总比赛场次:
8+4+2+1=15(场)
 
从逆向思维出发:
淘汰赛比赛规则(失败者被淘汰)最后的冠军只有1个,即剩下的15个学校都被淘汰掉,一场比赛只能淘汰掉一个学校。所以总场次是:
16-1=15(场)
 
例 2
 
有多少个三位数至少含有一个3或4?
 
例 2
 
正向思维,要分成很多类情况:
含3的个数 3
 2 2 1 1 1 0 0 0 
含4的个数 0 1 0 2 1 0 3 2 1 
每一类情况分别计算有几个三位数,共9类,然后再加起来,过程非常繁琐。
 
逆向思维:
只需要将所有三位数中不含有3或4的三位数去掉,剩下的三位数就至少含有一个3或4。
根据乘法原理,百位可以选择1~9,十位和个位都可以选择0~9,三位数总个数:9×10×10=900(个)
不含有3或4的三位数,每个数位都不能选择3和4,都比原来少了2个数字的选择,共有:7×8×8=448(个)
至少含有一个3或4的三位数:900-448=452(个)。
 
例 3
 
一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起组成一个棱长为10厘米大正方体,从一个方向看,最多同时可以看到多少个小正方体?
 
例 3
 
正向思维:
我们从一个方向最多同时看到三个面的小正方体,直接数;或者采用容斥原理计算,三个面的小正方体个数减去三条棱的小正方体个数再红色顶点的1个小正方体,10×10×3-10×3+1=271(个)。
 
逆向思维:
看不见的小正方体是去掉看见的三个面一层包围后的芯,是一个棱长为9的正方体,因此看见的小正方体有:
10×10×10-9×9×9=271(个)
同学们,有没有体会到逆向思维在数学解题中带来的方便?
逆向思维也叫求异思维,是对大家习以为常的事物另辟蹊径。因此当平时遇见数学题直接从正面不易找到解题思路时,不妨想到正难则反,改变一下思维的方向,从逆向考虑,问题会豁然开朗!
练一练
15 MAY 2019
(1)现有男同学4人,女同学3人,从中选出3人当主持人。至少有1个女同学的选法有多少种?
 
(2)一个棱长是10厘米的大正方体表面涂漆后,切割成1000个棱长是1厘米的小正方体。这些小正方体中至少一面被涂过色的有多少块?
 

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